導(dǎo)語：如何才能寫好一篇高斯消元法的基本原理，這就需要搜集整理更多的資料和文獻(xiàn)，歡迎閱讀由公務(wù)員之家整理的十篇范文，供你借鑒。

篇1

關(guān)鍵詞：平面桁架；MATLAB；有限元分析

MATLAB是以矩陣為基本的運(yùn)算單元，可以靈活地進(jìn)行矩陣運(yùn)算、圖形繪制、編程開發(fā)等，具有編程效率高、可移植性強(qiáng)、計算速度快等特點(diǎn)；有限元分析法是根據(jù)變分原理求解數(shù)學(xué)及物理問題的數(shù)值計算方法，它是隨著近年來計算機(jī)技術(shù)的迅速發(fā)展而得到的廣泛應(yīng)用。本文以解決一個實際的平面桁架問題為例，運(yùn)用有限元分析法，并利用MATLAB軟件進(jìn)行編程計算來演示MATLAB軟件在平面桁架中的應(yīng)用。接下來，首先介紹解決平面桁架問題的有限元分析方法。

1 平面桁架有限元分析的基本原理

在用有限元法對平面桁架受力分析中，平面桁架元是分析的基本單元，它是一種二維有限元，每個平面桁架元有2個節(jié)點(diǎn)和3個參數(shù)，參數(shù)分別為長度L、彈性模量E和橫截面積A，當(dāng)假設(shè)桁架元與正方向總體X軸逆時針傾斜θ角時，并令C=Cos（θ），S=Sin（θ），則單元剛度矩陣可表示為：

在有限元分析中，通過單元分析，建立單元剛度矩陣k，然后再將單元剛度矩陣通過剛度集成規(guī)則集合成結(jié)構(gòu)的整體剛度矩陣K，對于一個有n個節(jié)點(diǎn)的結(jié)構(gòu)而言，其整體的剛度矩陣K為2n×2n的矩陣，在實際MATLAB軟件操作中，并不需要編寫函數(shù)程序，而是直接調(diào)用相應(yīng)的函數(shù)即可，正是因為這樣，在用MATLAB軟件進(jìn)行桁架受力分析時，可以大大提高效率，節(jié)省時間。整體剛度矩陣的函數(shù)名稱為PlaneTrussAssemble。一旦得到剛度矩陣K，就可以列出方程：

式中，U代表節(jié)點(diǎn)的位移矢量，F(xiàn)是結(jié)構(gòu)節(jié)點(diǎn)的荷載矢量，這兩個邊界條件需要手動賦值，然后利用高斯消元法便可求解上述方程組，一旦求解出為止的位移和支反力，就可以利用方程：

求解單元的節(jié)點(diǎn)力。式中f代表單元節(jié)點(diǎn)力，u是單元節(jié)點(diǎn)的位移矢量，最后，將單元節(jié)點(diǎn)力除以桁架的橫截面積便可以得到單元應(yīng)力，之后就可以進(jìn)行結(jié)構(gòu)校核、結(jié)構(gòu)安全性檢驗等一系列力學(xué)性實驗分析。

2 有限元法分析的一般步驟

有限元法是一種高效能、普遍使用的數(shù)值計算方法，隨著近年來計算機(jī)技術(shù)的迅速進(jìn)步，有限元法得到了廣泛的使用和發(fā)展，對于有限元法分析的步驟，不同書籍的介紹不盡相同，但大體上可以分為以下幾步：

離散化域：將結(jié)構(gòu)分解為獨(dú)立的單元和節(jié)點(diǎn)，對于桁架和鋼架這類的離散系統(tǒng)，這一步可以省略，對于其他的連續(xù)性結(jié)構(gòu)，如板殼，這一步就顯得尤為重要，離散化的好壞直接影響到最后結(jié)果的準(zhǔn)確性。

得到單元剛度矩陣：由上一步離散化處理的結(jié)果，寫出每個單元的剛度矩陣，這一步可以通過調(diào)用MATLAB工具箱來完成，相應(yīng)函數(shù)的使用方法將在下面的實例中做出介紹。

集成整體剛度矩陣：根據(jù)上一步得到的單元剛度矩陣，通過剛度集成規(guī)則，集成結(jié)構(gòu)整體的剛度矩陣，這一步也可以直接用MATLAB工具箱來完成，

引入邊界條件：所謂的邊界條件是指位移、外加荷載、支座類型等，不同結(jié)構(gòu)的邊界條件不盡相同，所以這一步需要手動賦值，具體的操作步驟會在案例中演示。

解方程：在這一步中，需要對整體剛度矩陣進(jìn)行分解，然后再用高斯消去法求解方程組，在用高斯消去時，有時候需要手動分解矩陣。

后處理：當(dāng)需要得到其他信息時，如支反力、單元節(jié)點(diǎn)力、單元應(yīng)力等，還需要進(jìn)行后處理工作，這一步需要操作者掌握一定的材料力學(xué)方面的知識。

3 實例分析

為了進(jìn)一步說明MATLAB在平面桁架計算中的作用，接下來通過計算一個實例，來演示有限元法分析平面桁架問題的具體操作步驟。

如圖為一平面桁架結(jié)構(gòu)，為了便于計算，

假定結(jié)構(gòu)的彈性模E=200GPa

橫截面積A=2cm2，結(jié)構(gòu)受力如圖所示：

先對結(jié)構(gòu)進(jìn)行離散化處理，由于桁架結(jié)構(gòu)已經(jīng)是離散化結(jié)構(gòu)，所以我們只需要將結(jié)構(gòu)單元編號即可：

接下來多次調(diào)用MATLAB的PlaneTrussElementStiffness函數(shù)，分別生成單元剛度矩陣k1、k2、k3。然后集成整體剛度矩陣，由于該結(jié)構(gòu)有3個節(jié)點(diǎn)，所以整體剛度矩陣為6×6矩陣，在生成整體剛度矩陣前，要先建立一個6×6的零矩陣，零矩陣可以手動設(shè)置，也可以直接調(diào)用MATLAB的zeros（）函數(shù)直接生成相應(yīng)的零矩陣，得到零矩陣后，再反復(fù)調(diào)用planeTrussAssemble函數(shù)生成整體剛度矩陣K，由于本題結(jié)構(gòu)只有3個單元，所以只需調(diào)用3次該函數(shù)即可；得到整體剛度矩陣后，就可以建立該結(jié)構(gòu)的矩陣方程[K]{U}={F}，再輸入邊界條件，本題的邊界條件為U1x=U1y=U2y=0，F(xiàn)2x=0，F(xiàn)3x=5，F(xiàn)3y=-10 。接著手動分解方程并通過MATLAB軟件用高斯消法求解方程，便可得到節(jié)點(diǎn)的位移，最后一步就是后處理，這一步需要看題目要求解什么未知數(shù)，如求外力，用F=K*U等式便可求解，然后調(diào)用PlaneTrussElementstress函數(shù)即可求出。下面是該實例在用MATLAB軟件求解的程序：

% 輸入?yún)?shù) E=200e6；A=2e-4；

% 計算各桿的長度

L1=4；L2=PlaneTrussElementLength（0，0，2，3）；L3=PlaneTrussElementLength（4，0，2，3）；

% 計算單元剛度矩陣，

k1=PlaneTrussElementStiffness（E，A，L1，0）；theta2=atan（3/2）*180/pi；theta3=180-theta2；k2=PlaneTrussElementStiffness（E，A，L2，theta2）；k3=PlaneTrussElementStiffness（E，A，L3，theta3）；

% 建立零矩陣 K=zeros（6，6）；

% 整體的剛度矩陣

K=PlaneTrussAssemble（K，k1，1，2）；K=PlaneTrussAssemble（K，k2，1，3）；K=PlaneTrussAssemble（K，k3，2，3）；

% 引入邊界條件，手動賦值 k=[K（3，3），K（3，5：6）；K（5：6，3），K（5：6，5：6）]；

% 外力 f=[0；-5；-10]；

% 利用高斯消去法解方程組 u=k＼f； U=[0；0；u（1）；0；u（2：3）]；

% 計算節(jié)點(diǎn)力矢量 F=K*U；

% 調(diào)用節(jié)點(diǎn)位移矢量

u1=[U（1）；U（2）；U（3）；U（4）]；u2=[U（1）；U（2）；U（5）；U（6）]；u3=[U（3）；U（4）；U（5）；U（6）]；

% 計算單元應(yīng)力

sigmal=PlaneTrussElementStress（E，L1，0，u1）；sigma2=PlaneTrussElementStress（E，L2，theta2，u2）；sigma3=PlaneTrussElementStress（E，L3，theta3，u3）；

運(yùn)行后的部分結(jié)果：

4 結(jié)論

實踐證明，應(yīng)用MATLAB軟件解平面桁架問題簡便、易行、通用，本文只是列舉了一個簡單的例子，對于求解復(fù)雜的平面桁架問題，本文介紹的方法同樣適用。因此，我們倡議將MATLAB軟件運(yùn)用到教學(xué)里，讓更多的學(xué)生了解并會用MATLAB軟件求解力學(xué)問題，以便提高學(xué)生學(xué)習(xí)效率，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)興趣。

參考文獻(xiàn)

篇2

關(guān)鍵詞：開關(guān)磁阻電機(jī)驅(qū)動系統(tǒng)；轉(zhuǎn)子位置檢測；自適應(yīng)模糊參考系統(tǒng)；模糊算法

中圖分類號：TM352，TP274文獻(xiàn)標(biāo)識碼：B文章編號：1004-373X(2008)06-171-04

An Improved Sensorless Driving Method of Switched Reluctance Motors Based on Fuzzy Logic

ZHANG Dapeng，WANG Wei，SU Lanxin

(Tianjin Polytechnic University，Tianjin，300160，China)

Abstract：The measurement of rotor position for switched reluctance drive is essential to proper running.This paper introduces a method of detecting the rotor position based on fuzzy logic.In order to improve the measurement accuracy of the rotor position，some unique techniques are adopted.At first，the block of predictive filter is used to examine and eliminate the noise of the feedback signal.Then，an optimized fuzzy model of the motor is created using an Adaptive Neural Fuzzy Inference System (ANFIS).At last，the block of angle position selector can modify the rotor-position.The result of simulation indicates that the position obtained by this method is accurate for the operation of SRM.

Keywords：switched reluctance motor driving system；rotor position detection；Adaptive Neural Fuzzy Inference System (ANFIS)；fuzzy algorithm

位置檢測環(huán)節(jié)是開關(guān)磁阻電機(jī)驅(qū)動系統(tǒng)[1]的重要組成部分。檢測到的位置信號既是繞組開通與關(guān)斷的依據(jù)，也為轉(zhuǎn)速閉環(huán)控制提供轉(zhuǎn)速信息。傳統(tǒng)的位置傳感器的引入，不僅增加了系統(tǒng)的復(fù)雜性和成本，更重要的是降低系統(tǒng)的可靠性，并且難以實現(xiàn)電機(jī)的高速控制，限制SRM的應(yīng)用領(lǐng)域。

目前，SRM無位置傳感器技術(shù)已經(jīng)成為世界范圍內(nèi)SRM研究領(lǐng)域的熱點(diǎn)之一。文獻(xiàn)[2]中全面介紹了當(dāng)前開關(guān)磁阻電機(jī)轉(zhuǎn)子位置檢測的基本原理及方法，文獻(xiàn)[3]中介紹了一種基于模糊模型的轉(zhuǎn)子位置檢測方法。本文針對傳統(tǒng)的基于模糊模型的SRM轉(zhuǎn)子位置檢測方法進(jìn)行分析，并通過一些改進(jìn)算法以獲得較高的精度，從而提高無位置傳感器SRM驅(qū)動系統(tǒng)的運(yùn)行性能。

1 無位置傳感器檢測技術(shù)理論依據(jù)

無位置傳感器檢測技術(shù)的方法很多，但基本原理就是通過分析繞組電壓、電流、磁鏈之間的關(guān)系來得到轉(zhuǎn)子位置信息。為說明方便，列出SRM的電路方程[4]，如下式表示：

其中式(2)是基于線形模型由式(1)簡化得到的，式中：uk為相繞組兩端的電壓；ik為相繞組電流；Rk為相電阻；Lk為相電感；ψk為相繞組磁鏈；θ為轉(zhuǎn)子位置角。

對于SRD系統(tǒng)，uk，Rk，ik，dikdt和ω可以直接測量得到，當(dāng)SRM處于運(yùn)行狀態(tài)時，相電壓uk以及相電流ik可以直接測量得到，其磁鏈ψkЭ捎商菪位分法近似得到，如下式表示：

2基于模糊模型的轉(zhuǎn)子位置檢測

模糊控制法[3，5，6]是基于SRM的繞組磁鏈、位置角以及電流之間的非線性關(guān)系，首先根據(jù)電機(jī)的電磁特性建立合理的模糊規(guī)則庫，定義磁鏈、電流為輸入，位置角為輸出，建立一個雙輸入、單輸出的模糊控制模型。由檢測得到的磁鏈、電流通過模糊控制模型就可以推理得到位置角的模糊輸出。

為了建立電機(jī)Е-I-θе間的模糊推理關(guān)系，電機(jī)的各種信息的模糊邏輯規(guī)則訓(xùn)練是必須的。訓(xùn)練數(shù)據(jù)被定義為2個輸入和1個輸出的數(shù)據(jù)對，所測點(diǎn)由式(4)表示：

И(ψ(n)，i(n)，θ(n))(4)И

式(4)中：n表示第n數(shù)據(jù)對。

訓(xùn)練階段包括以下步驟：

(1) 對輸入和輸出變量進(jìn)行模糊化。標(biāo)準(zhǔn)化磁鏈Е祝電流I以及位置角θ的隸屬度函數(shù)如圖1所示，其中ψ，I，θУ姆旨毒度可以再細(xì)，但分級精度越細(xì)，數(shù)據(jù)量越大，模糊推理規(guī)則越多，要求的處理器速度越高，系統(tǒng)造價越高。

圖1 輸入輸出變量的隸屬度函數(shù)

(2) 建立模糊推理規(guī)則。每個規(guī)則有如下形式：

ИR(n)：if ψ is A(n)ψand i is A(n)i then θ is B(n)θ(5)И

式(5)中：R(n)表示第n條規(guī)則；A(n)ψ表示隸屬度函數(shù)為μA(ψ)模糊變量的一個集合；A(n)i表示隸屬度函數(shù)為μA(i)模糊變量的一個集合；B(n)θ為轉(zhuǎn)子位置角論域中具有隸屬度函數(shù)為μA(θ)У慕峁性模糊子集。

(3) 獲得模糊規(guī)則適用度：當(dāng)一個新的規(guī)則由步驟2獲得以后，就對這個規(guī)則進(jìn)行適用度的歸算以得到更好的模糊規(guī)則。

(4) 建立模糊規(guī)則庫：數(shù)據(jù)元素處理后，將得到的模糊推理規(guī)則建成一個相關(guān)的模糊規(guī)則庫。

3 提高估算精度的算法研究

在已建立的電機(jī)模型中，轉(zhuǎn)子位置可以通過電流與磁鏈得到。由于建模的近似以及反饋信號的噪聲，從而轉(zhuǎn)子位置的檢測也存在誤差。為提高估算精度，本文在以下3個方面進(jìn)行了改進(jìn)。

3.1 模糊估測中的超前濾波

在轉(zhuǎn)子位置的檢測中，一個突出的問題就是用所測的反饋信號在實時狀態(tài)下計算轉(zhuǎn)子的位置角，電機(jī)的工作環(huán)境和現(xiàn)實測量系統(tǒng)都勢必對其產(chǎn)生影響。為了改善性能，可以采用傳統(tǒng)濾波的方式，但在實際條件下，傳統(tǒng)濾波的方式都有一定的延遲，這與電機(jī)的實時控制是不相容的。

圖2 基于模糊控制的轉(zhuǎn)子位置檢測方法原理圖

如圖2所示，本文在決策模塊之前加一個超前一步的斜坡預(yù)測器，他是最簡單形式的牛頓線性平滑(RLSN[7])預(yù)測器，可用來檢測和消除反饋信號中的噪聲，并且沒有時間延遲。其傳輸函數(shù)由式(6)表示：

Иk11(z)=a+1N-z-NN1-(1-a)z-1(6)И

式(6)中：N為移動平均數(shù)的長度；a為遞歸區(qū)的權(quán)重因數(shù)；兩個參數(shù)的選擇需要在噪聲衰減與瞬時過沖之間做一個折中，本文中N=16，a=0.1。其波特圖如圖3所示。

圖3 超前一步預(yù)測器的波特圖

從圖3中可見，濾波器的截止頻率大約是0.085 奈奎斯特頻率，因此盡管在電機(jī)轉(zhuǎn)速快速變化時，該濾波器對減小誤差非常有效。

3.2 模糊模型的優(yōu)化

如上所述，采用模糊邏輯建立起來的映射模型具有簡單直觀，但為了達(dá)到較高的精度而必須采用較多的模糊規(guī)則，從而造成在線推理時間長而影響實時性的問題，同時模糊邏輯的學(xué)習(xí)能力自適應(yīng)性較差。因此，這樣的一個模糊模型遠(yuǎn)非最優(yōu)的。結(jié)果是為了得到一個精確模型，一般需要模糊集合和模糊規(guī)則的數(shù)量很大，這不僅為了存儲模糊規(guī)則而增加內(nèi)存需求，也增加了計算時間。而模糊神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)兼具有模糊邏輯和神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的優(yōu)點(diǎn)。將模糊邏輯和神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的優(yōu)點(diǎn)結(jié)合起來，構(gòu)成模糊神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)可使得神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的每一層的神經(jīng)元具有明確的物理意義；可充分利用專家知識和語言信息。從而避免陷入局部極值，加快神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的訓(xùn)練速度，且具有較強(qiáng)的魯棒性，對檢測信號中的噪聲具有較強(qiáng)的容錯能力。

ANFIS已經(jīng)被證明是一種優(yōu)秀的近似工具。圖4顯示一個典型的帶有2個輸入(x和y)和1個輸出(z)的ANFIS結(jié)構(gòu)。

圖4 ANFIS結(jié)構(gòu)

圖4中，圓圈代表一個固定節(jié)點(diǎn)；方塊代表自適應(yīng)節(jié)點(diǎn)。為簡化起見，圖4中只有2個輸入x，y和1個輸出z。П疚鬧脅捎玫囊喚T-S類模糊規(guī)則可表示為：

規(guī)則1：If x is A1 and y is B1 then z1=p1x+q1y+r1

規(guī)則2：If x is A2 and y is B2 then z2=p2x+q2y+r2

其中，Ai和Bi是前件中的模糊子集；pi，qi，ri是后件參數(shù)。

模糊神經(jīng)建模是基于得到的數(shù)據(jù)集合，并對數(shù)據(jù)進(jìn)行自動的學(xué)習(xí)，得到建模需要的隸屬度函數(shù)。為訓(xùn)練一個模糊參考模型(FIS)，本文用的方法分為2步：第一步使用分組方法初步識別FIS；第二步使用自適應(yīng)模糊神經(jīng)系統(tǒng)(ANFIS)[8，9]微調(diào)且優(yōu)化初步識別的FIS。本文對每一個輸入數(shù)據(jù)采用7個模糊子集進(jìn)行模糊化運(yùn)算，模糊子集的隸屬度函數(shù)采用高斯函數(shù)如圖5所示，最優(yōu)化前后的模糊模型的映射表面如圖6示。

3.3 位置預(yù)測

如圖2所示，位置預(yù)測模塊的功能是預(yù)測轉(zhuǎn)子的下一個值，當(dāng)轉(zhuǎn)子估算值有較大誤差時，用預(yù)測值代替估算值，此方法可以有效地減小誤差，提高轉(zhuǎn)子測量精度。這種方法通過以下2步完成：

(1) 根據(jù)轉(zhuǎn)子的前一個位置，可以得到轉(zhuǎn)子的運(yùn)行角速度Е兀因為在每一個預(yù)測過程中的時間是一個定值，所以轉(zhuǎn)子的預(yù)測值θP(n)Э梢雜墑(7)得到：

ИЕp(n-1)+ω×Δt=θP(n)(7)И

式中：Еp(n-1)前次位置選擇模塊的值，ΔtЪ涓羰奔洹

(2) 根據(jù)上面所述的轉(zhuǎn)子位置檢測的知識，本文設(shè)計一個位置選擇模塊。在此模塊中，對轉(zhuǎn)子的估算值與預(yù)測值做一個比較來決定最后的輸出信號。

圖5 訓(xùn)練前后輸入變量的隸屬度函數(shù)

圖6 最優(yōu)化后的模糊模型的映射表面

在電機(jī)運(yùn)行過程中，在一個很短的時間段內(nèi)轉(zhuǎn)子的速度不會發(fā)生太大的變化，因此可以取一個最大誤差允許值Еう泉Ю詞迪治恢醚竦墓δ堋H綣比較結(jié)果在最大誤差允許值內(nèi)，就把估算值作為最后的轉(zhuǎn)子位置輸出值，否則預(yù)測值作為最后的輸出值。位置選擇模塊可以由式(8)來描述：

ИIf|θ(n)e-θ(n)p|≤Δθ then θ(n)=θe(n)

Otherwise θ(n)=θP(n)(8)И

式(8)中：Еe(n)為估算值；θP(n)為預(yù)測值；θ(n)為轉(zhuǎn)子位置選擇模塊的輸出值。

4 仿真結(jié)果與結(jié)論

選用一臺8/6，3 kW電機(jī)在Matlab[10]環(huán)境下進(jìn)行仿真研究，當(dāng)電機(jī)運(yùn)行速度為1 500 rpm時，其仿真曲線如圖7所示。圖7中曲線1為系統(tǒng)仿真得出的曲線位置，曲線2為通過模糊邏輯算法得出的估算位置。圖7中經(jīng)過算法改進(jìn)后的轉(zhuǎn)子的實際位置與測量值基本一致，由轉(zhuǎn)子反饋信號引起的誤差得到很好的抑制，轉(zhuǎn)子的位置估算精度很高。

本文提出的開關(guān)磁阻電機(jī)轉(zhuǎn)子位置檢測方法由電機(jī)的模型建立開始，介紹了基于模糊模型的轉(zhuǎn)子位置檢測方法，以及對現(xiàn)有算法進(jìn)行了改進(jìn)。前置濾波器、自適應(yīng)模糊參考系統(tǒng)以及位置預(yù)測模塊的引入，極大提高了轉(zhuǎn)子位置檢測的精度。仿真結(jié)果證明，這種方案使轉(zhuǎn)子的位置估算更加精確、可靠。

圖7 仿真曲線

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